86、不动点（2/2）

科学的逻辑86、不动点：准备有声小说在线收听

用于求解不动点的一系列数学工具使求解不动点变成了技术问题，我们可以比较轻易的得出一大类函数的不动点，虽然没有求函数极值那样方便，我们却从中看到了不动点与极值问题的一些异曲同工之处。它们都是某种通用的方法，其研究对象都具有某种任意性，使之从一开始就不是某个特殊问题的特殊解法，而是一个包含大量内容的真正的数学分支；它们都是从一个包含大量元素的集合之中选出某个特殊元素的自然方法，它告诉我们这个特殊元素因为具有某种本质上的属性，使它与其它一般元素不同，从而可以依据某种原则筛选出它们；另外，从纳什均衡的例子中可以看到它们之间还存在某种内在的关联，博弈中的每个人在纳什均衡状态下都实现了各自的极值状态，因为任何偏离这种状态的单独决策都会损害自身的利益，所以在某个邻域里，每个人都处在自身利益的极值点上，而所有参与博弈的人构成的整体，对应的则是一个体系的不动点。

我们可以从直觉上感受到客观世界与数学之间的某种内在关联。为什么我们可以用数学描述世界？因为在很多情况下，客观世界恰好就是数学世界的特殊状态。数学世界中存在某种任意性，是所有可能性的集合，而客观世界则必须从中选择某种具体的状态和形式。这样，如果选择是随机的，客观世界就会自然出现概率最大化的统计规律，例如热力学第二定律；如果客观世界选择的这种具体状态是可能性集合中某个很普通的元素，与其它元素没有什么可以区分的标志，那我们总结不出什么客观规律，但是如果我们从某个独特的角度去理解世界，会发现这个数学可能性的集合中存在某些特殊的元素，这些特殊元素可以是极值点或不动点，或者其它什么特殊元素，因为这个元素具有某种与其它元素不同的可区分标志，使我们可以将这些特殊状态分离和筛选出来，其对应的客观世界就是有规律的。

从这个角度看，客观世界是数学世界的某个子集。至于为什么客观世界总是对应数学世界的特殊状态，我们可以找到一些试图说服自己的理由：比如每一种系统的微观状态都对应一个数学元素，而许多不同的微观状态具有某些相同的宏观属性，使宏观的客观世界服从统计规律；又或者依据费曼思维认为，所有可能性都是存在的，只是在某些特殊状态附近，这些可能性相互加强，而在通常情况下则相互抵消，使世界具有了规律性。这些理由无一例外都加入了额外的假设，使问题简化的同时，也使得关于客观世界的描述成为半经验性质的理论。

在物理学的发展史中，起初像金属电导率、比热之类的性质，只能通过实验测定，后来有了量子论等更基础的理论，使得人们仅仅依靠电子电荷、电子质量、光速、普朗克常数之类的基本物理常数计算物质的各种性质成为可能，这称为第一性原理。

科学家们有一个梦想，希望可以通过纯数学的方法计算像精细结构常数这样的无量纲常数，使物理学常数不再依赖实验测量，成为可以用数学方法计算的数值，从而使客观世界与数学世界真正合二为一。如果我们真的实现了这个梦想，像极值点、不动点之类的特殊状态会成为数学世界中的普通元素，我们周围的客观世界将成为更大的真理海洋中泛起的微不足道的浪花。