86、不动点（1/2）

科学的逻辑86、不动点：准备有声小说在线收听

如果我们在计算器上随机输入一个数字，然后不停的求它的余弦值，经过多次求解之后会发现，无论当初输入的初始数字是什么，最终结果都会锁定在0.7391上。在数学中就有这样一个与此相关的很重要的概念：不动点。如果一个函数映射到它自身的一个点上时，这个点就被称为不动点，即将不动点的数值代入函数中，求得的函数值就是它本身。由于任何函数对应的方程都可以改写成不动点的形式，求一个方程的解也就转化为了求解相应函数的不动点问题。

荷兰数学家布劳威尔证明了一个不动点定理：如果在n维欧几里得空间中存在某个非空的凸紧集，那么这个集合映射到自身的所有连续函数都存在一个不动点。布劳威尔还证明，空间的维数在拓扑变换下是不变的。其他的一些数学家例如日本的角谷静夫等人，在此基础上做了一些适当的推广，使不动点定理可以适用于更一般的情形。

不动点定理有一个特征，那就是它的讨论对象是一个集合到自身的所有连续映射，它告诉我们只要满足不动点定理的条件，就一定会存在不动点。给出具体的算法，实际找出这样的不动点被称为不动点定理的构造性证明，常见的方式就是用迭代方程的方法逐级迭代，最后使之收敛到不动点上。如今寻找不动点的算法已经有多种方法，而且越来越成熟，使寻找不动点不再成为难事。由于获得了不动点就相当于获得了方程的解，这使得不动点理论有着极为广阔的应用前景。

在数学领域，我们拥有解决线性问题的大量强大的数学工具，但是非线性问题使许多数学分析工具失效，使得求解非线性问题变得异常困难。例如求解某个非线性方程组，之前我们只是凭借经验认为方程组中存在多少个变量，一般就需要多少个方程，而实际上这种说法并不严密，通常的非线性问题求解方式也杂乱无章。

但是不动点理论给出了解决非线性问题的一种通用思路，通过不动点定理可以严格确定方程组解的存在性问题，而且依据求解不动点的具体算法，就可以求出非线性问题的数值解，这使我们不再对非线性问题望而生畏。

纳什在证明博弈论的纳什均衡时，就是应用了角谷静夫不动点定理，一个纳什均衡的解实际上就是一个不动点。这可以说是不动点理论在经济学中最重要的贡献了，它给人一种神秘感，在一个如此宽泛的条件之下，我们却可以从严格的数学定理的角度去说，必定会存在一个不动点。不动点有点类似于一个函数的极值或者泛函的极值，是一大类元素之中的某个特殊元素，但它显然又不同于极值。