68、泛函（1/1）

科学的逻辑68、泛函：准备有声小说在线收听

对数学与物理至关重要的函数概念，描述的是两个数集或者两组实验数据之间的对应法则。但是找到两组数据之间的函数关系并不是一件容易的事，一般需要强大的直觉与想象力，而对实验数据进行拟合一般也只能得到一些粗糙的数学模型和一些经验或半经验的公式，不容易找到真正的因果联系。许多自然界的基础规律以前只能依靠猜测，如今的基础规律同样是依靠猜测，但是不同的是，人们找到了一种合理的猜测方式，显著缩短了发现新的基础规律的周期，使我们可以寻找规律的规律。而与这种猜测方式密不可分的一个概念就是泛函。

从数学定义上来说，泛函指的是从函数集合向实数集合映射的对应法则。也就是说，泛函的定义域不再是通常的数集，而是函数集，定义域集合中的每个元素都是一个函数，因此泛函就是函数的函数。物理上我们需要寻找的基础规律，实际上就是两组实验数据之间的对应法则，也就是某个函数。这样，我们就需要从大量的函数中筛选出符合实验数据等约束条件的函数。在函数理论中，我们可以通过微积分的方法求解某些函数的最大值或最小值，它们对应的是函数导数为零的点。泛函分析将这种求解极值的方法借用过来，对一定约束条件下的泛函求变分，并通过让变分为零获得让泛函取极值的“点”，通过这种方法求解出的不再是一个通常的点，而是一个函数。而历史告诉我们，这样求出的满足泛函极值条件的函数，往往恰好就是物理上我们需要的基础规律。寻找一个泛函极值的方法是求解一个被称为欧拉-拉格朗日方程的微分方程，而泛函极值与基础物理规律的这种对应关系，如今被称为最小作用量原理。通过变分法我们可以很容易的证明一些有趣的结论：在周长相同的所有闭合图形中，圆围成的面积最大；在体积相同的所有形状中，球的表面积最小；在椭圆内部某个焦点发出的光通过椭圆内壁的反射，将会汇聚到椭圆的另外一个焦点上。结合表面张力、万有引力等物理学知识，我们也就容易理解为什么吹出的肥皂泡和许多星球都是球形的了。几何学中两点之间线段最短是一条不证自明的公理，而依据变分法却可以证明这个结论。在变分法出现之前，我们很难在无穷多种情形中筛选出这些极值函数。

在物理学中有大量通过最小作用量原理获得物理规律的例子。费马依据光在介质中总是走时间最短的路径这一创造性的想法，推导出了折射定律；分析力学中通过动能和势能构造拉格朗日量可以推导出牛顿力学的全部内容；热力学中的平衡态就是满足一定约束条件的熵值最大的状态；即使是广义相对论，也可以从最小作用量原理的角度理解和推导。在分析力学中，作用量是拉格朗日量对时间的积分，构造出了拉格朗日量也就知道了作用量。而在近代的量子理论中，构造体系的拉格朗日量，然后通过最小作用量原理获得微观粒子的演化规律，已经成为经典的方法，像量子电动力学、电弱统一理论以及量子色动力学这些量子场论都得益于最小作用量原理。可以说，如果没有关于泛函分析的这些理论，物理学家们很难在这么短的时间内发现粒子物理的大量规律。通过一些合理的限制和猜测，我们可以很快的写对一个体系的拉格朗日量，一旦拉格朗日量确定了，通过分析力学的方法，我们就可以得知体系的运动方程和演化规律了。诺特提出诺特定理的论文题目就是变分问题的不变量，从中深刻的指出了作用量、对称性和守恒律之间的关系。具有某种对称性不仅可以找到相应的守恒量，而且也容易写出正确的作用量。一些对称性原理对拉格朗日量可能的形式做出了很强的限制，比如，基础拉格朗日量应该具有洛伦兹不变性、规范不变性、CPT联合变换下的不变性，同时理论还应该是可重整的，这些限制将可能的拉格朗日量限制在一个很小的范围，这样猜测起物理规律来也就容易多了。

可是为什么会有这样奇特的原理呢？在泛函的定义域内一般会有无穷多个函数，为什么这些极值函数这么幸运，恰好是用来描述自然规律的呢？在物理学中，最小作用量原理被看作一条公理，无需解释和证明，它最好的证明就是它的推论与实验数据相符。可是这样的解释一般不能满足一些人的胃口，就像薛定谔方程是量子论的公理，可是我们仍然有一些线索来构造或“推导”它，没有这些线索和思路，薛定谔也很难构造出他的方程。或许费曼的路径积分思路可以让我们对最小作用量原理有一个新的认识。连接两个端点的所有可能路径中，每一条路径都对应一个作用量，而这些作用量与到达端点处的相位一一对应，由于作用量与相位的对应比例系数是普朗克常数，而普朗克常数是一个极小的数值，因此与最小作用量原理对应的路径偏离较大的路径，稍微有一点路径上的变动，其终端相位就会急剧振荡，最终这些相邻的路径相互抵消，只留下最小作用量原理对应的相位相近而不能抵消的路径。费曼的想法告诉我们，粒子的每条路径不仅有坐标参数，还有相位，因此不是普通意义上的路径，最小作用量原理是所有可能的路径相位相互叠加决定的。

由于自然界满足最小作用量原理，泛函分析这一配套的数学方法也拥有了广泛的应用。它告诉我们一套从一类函数中筛选出某个特殊函数的方法，使我们可以分析像量子场论这样具有无穷自由度的系统，为我们寻找基础规律提供了新的方法。