54、通用方法（1/1）

科学的逻辑54、通用方法：准备有声小说在线收听

在自然科学的发展史上，能够解决一大类问题的普遍化通用方法显得尤为重要，所谓重剑无锋，大巧不工，大象无形，大巧若拙，这些通用方法往往会比充满技巧的专用方法更有意义。它不仅可以解决一大类问题，而且往往具有深刻的科学美，同时能够启示和指引我们寻找更大范围通用方法的方向。

在经典的数学领域，频频出现这样的例子。在求解代数方程的历史中，对于一元二次方程很快有了通用的数学解法，通过对方程系数的根式运算就可以求出方程的解。这种思路很快推广到更高的次数，三次方程、四次方程的根式解法很快有了通用方法，但是这种技巧在五次方程中遇到了阻力，数学家们证明，在五次及其以上的方程中没有通用的根式解法。伽罗华通过对方程结构的深入分析，发现了隐藏在方程及更多数学对象背后的一种普遍结构：群。应用群论对方程进行分类，就可以知道，什么样的特殊高次方程有通用的根式解法，什么方程没有，从而彻底解决了这个问题。群论的方法显然是一种更加普遍的通用数学方法。

在代数学领域充满了逻辑演算步骤，求解代数问题就像程序员在写程序一样，而在几何问题的证明过程中往往充满了证明技巧。笛卡尔找到了联系它们的通用方法：建立在坐标系框架内的解析几何。坐标系的引入让代数和几何融为一体，那些几何学中种类繁多的充满技巧的特殊证明，可以在坐标系中通过同一种统一的代数演算方式得到证明，笛卡尔的解析几何方法让我们再一次见证了通用方法的威力。

牛顿与莱布尼茨的微积分掀开了数学史上崭新的一页，微积分能有这样强大的魔力，最重要的一点就是它处理的数学对象是所有的连续可微函数，正是这种函数形式的任意性赋予了微积分强大的通用能力。有了微积分我们就可以方便的求解一大类函数的最大值与最小值，它们在任意点附近的斜率、曲率与挠率，一大类曲线围成的面积、曲面围成的体积，通过二分法或牛顿迭代方法求解一大类函数对应方程的解。微积分的发展很快让我们有了微分方程的概念，求解微分方程成了数学界一项重要的任务，数学家们很快有了一些求解特殊微分方程的技巧，同时也总结出了一些具有一定任意性的通用方法。数学家们总结出了一套将偏微分方程转化为常微分方程，并最终转化为代数方程的方法，而代数方程我们有通用的解法。级数方法也成为求解微分方程的一种通用利器，通过无穷级数，可以消除微分方程中的各阶微分，将问题转化为传统的代数问题。在微分方程领域有一大类被称为本征值问题的数学方法具有重要的应用价值，因为量子化就是本征值问题。通过希尔伯特空间中各本征函数彼此正交这一特点，可以获得求解这类微分方程的通用方法。

数学史上有一个有趣的故事，约翰·伯努利提出过一个问题，一个小球在只受重力的情况下，沿曲线落向不在小球正下方的一点上，什么样的曲线所需时间最短。这个问题很快吸引了许多数学家，约翰最终收到五份答案，分别来自他自己、他的哥哥雅各布·伯努利、牛顿、莱布尼茨以及约翰的学生洛必达。牛顿、莱布尼茨与洛必达用的是通常的微积分方法，而约翰的方法是最精致最巧妙的，通过与光学中费马原理的类比获得了答案，而雅各布的方法虽然看上去有些繁琐，却孕育了一种求解一大类问题的普遍化通用方法的种子。这种方法被约翰的学生欧拉以及之后的拉格朗日发展为真正的通用方法，一个全新的领域：变分法诞生了。在变分法中，自变量不再是一个变量，而是任意函数，这个满足一定条件的任意函数的集合被称为泛函，而变分法的任务就是求出在这一大类满足某些约束条件下的泛函极值，也就是某个特殊的函数，欧拉和拉格朗日找到了求解这个极值函数的通用方法。显然，这是一种微积分概念的某种推广，原来函数也可以作为自变量。

计算机领域中的图灵机概念将一大类数学问题统一到同一种计算模式中，开创了计算机科学的先河，显示出通用方法的强大实力，物理学领域中的牛顿经典力学、麦克斯韦电磁学、统计热力学以及后来的相对论与量子论无一不是建立在某种确定的逻辑框架下的通用方法，在这些理论的指引下，千姿百态的大量自然现象得到了统一的合理的解释。这些方法的使用不仅增强了我们认知世界的能力，而且可以使我们自信的预言许多尚未发生的现象和过程，构筑起我们坚实的世界观。

尽管这些普遍的通用方法让我们对这个世界有了深刻的理解，但是大自然总是花样百出，让我们应接不暇。世界上最难以理解的事物不是物的运动和演化，而是人。即使我们对物的运动计算的再精确，仍然可以通过中途的人为干预改变它未来的演化过程。在社会科学领域，我们通过适当的简化假设和引入适当的数学得到了一些有意义的结果，例如经济学中的理性经济人假设，但是通用性和普遍性较差，许多作为理论基础的出发点总能找到一些例外和反例，使得结论也不那么普遍。如果我们能够在这些关于人的理论中找到某种具有普遍性的概念或方法，可能会让我们对人的理解上升到新的层次。量子理论是唯一一个涉及到观察者的自然科学理论，因此很有可能是联系自然科学与社会科学的纽带，量子论中的一些谜题如量子纠缠有可能在社会科学中获得启示，而社会科学也有可能借鉴自然科学中信息、纠缠等概念找到自己的通用概念或通用方法，实现自身的升级与飞跃。